lunes, 13 de julio de 2009

La educación estadística

Para comenzar haré una reflexión sobre la educación estadística fuera del aula, partiendo de la preparación y la necesidad de la estadística en nuestro país. Tal como lo plantea el documento “situación actual y perspectivas futuras de la didáctica estadística” la creciente demanda en el uso de métodos estadísticos cada vez más sofisticados, particularmente en ámbitos gubernamentales, financieros, industriales y científicos, han creado la urgente necesidad de establecer un programa de entrenamiento en Estadística al más alto nivel para el progreso de nuestro país.

Al ver esta necesidad de saber estadística para nuestro futuro se introduce con gran fuerza en los colegios (enseñanza básica y media), pues no sólo los que desean ser doctores en estadística o los investigadores que producen ciencia deben recibir educación estadística, sino todos los ciudadanos de nuestro país, ya que el lenguaje estadístico se incorpora crecientemente a nuestra vida diaria, la utilización correcta de técnicas estadísticas es cada vez más frecuente y el público es cada vez más crítico con respecto a los resultados que se le presentan.

Ahora, lo que nos destaca a todos cuando jóvenes es la curiosidad, el querer descubrir, el querer conocer y el estar informados, ver todo reflejado en lo real, es decir, en nuestro alrededor, cuando adolescentes estamos llenos de energía que queremos gastar pero en cosas que nos interesen y que nos motiven, pero lamentablemente no es nada relacionado con las matemáticas ni con la estadística, pues es muy poco lo que se sabe de la estadística a medida que transcurren los años de escolaridad, además son fórmulas o tablas que debemos llenar o bien jugar con una moneda o dado pero nada más. Así se mira o mejor, así miramos la estadística en la escolaridad, ahora veo la falta de la información que no se nos fue entregada y entiendo cuando mis compañeros decían “pa’ qué me sirve esto” “mejor copio total, no lo voy a necesitar nunca más” ahora veo cuantos vacíos quedaron en ellos, es lamentable.Estos problemas o pensamientos no están ausentes en el día de hoy, pues se enseñan formulas sin sentido, sin información adicional y sin su definición u origen, ¿cómo uno puede aceptar las cosas porque sí? Esto nadie lo tolera. Es necesario aceptar que los estudiantes son seres analíticos y pensantes que para aprender algo deben procesarlo, conocerlo y trabajarlo para entender su utilidad; todo en la estadística es útil para mejorar nuestro pensamiento y nuestra vida.

Vemos que en los colegios se trabajan ejemplos con notas, pesos, estaturas, edades, etc., pero muchos de los profesores no analizan los resultados y no explican lo que quieren decir los números obtenidos o por qué está malo el resultado de algún estudiante. Lo que es peor, es que muchos profesores cuando detectan los errores que cometen frecuentemente los estudiantes no diseñan actividades que los ayuden a aclarar sus dudas y a hacer mas fructífero su proceso de aprendizaje. Olvidan que en la actualidad, el error ha dejado de ser algo a penalizar para convertirse en una fuente valiosa de información, en una señal de hacia dónde se debe reorientar el proceso de enseñanza-aprendizaje. Es también un recurso de motivación, una oportunidad para que el alumno argumente, discuta y evalúe sus conocimientos, para lograr una mejor comprensión y una mayor familiaridad con el razonamiento lógico y estadístico.

Estas ideas son las que han origen a éste blog, además son consistentes con un cambio en el paradigma pedagógico, pues ahora lo que se propone es abandonar la búsqueda de la respuesta exacta como única alternativa (lo que no deja de ser una forma de condicionamiento) para optar por el trabajo más enriquecedor que consiste en reflexionar críticamente sobre las propias producciones.
Herbert George Wells, autor de The War of the Worlds y The Time Machine, decía: “el pensamiento estadístico será algún día tan necesario para el buen ciudadano como la habilidad para leer y escribir”.

Historia de la estadística

Desde los comienzos de la civilización han existido formas sencillas de estadísticas, pues ya se utilizaban representaciones gráficas y otros símbolos en pieles, rocas, palos de madera y paredes de cuevas para contar el número de personas, animales o ciertas cosas. Hacia el año 3000 A.C. los babilonios ya usaban pequeñas tablillas de arcilla para recopilar datos en tablas sobre la producción agrícola y los géneros vendidos o cambiados mediante trueque. Los egipcios analizaban los datos de la población y la renta del país mucho antes de construir las pirámides en el siglo XXXI A.C. Tal era su dedicación por llevar siempre una relación de todo que hasta tenían a la diosa Safnkit, diosa de los libros y las cuentas.

En la Biblia observamos en uno de los libros del Pentateuco, bajo el nombre de Números, el censo que realizó Moisés después de la salida de Egipto. Textualmente dice: Censo de las tribus: El día primero del segundo año después de la salida de Egipto, habló Yavpe a Moisés en el desierto del Sinaí en el tabernáculo de la reunión, diciendo: "Haz un censo general de toda la asamblea de los hijos de Israel, por familias y por linajes, describiendo por cabezas los nombres de todos los varones aptos para el servicio de armas en Israel." En otro libro de la Biblia, llamado Crónicas se describe el bienestar material de las diversas tribus judías.

En China, Confucio en uno de sus clásicos "Shu-King" escrito hacia el año 550 A.C., nos narra cómo el Rey Yao en el año 2238 mandó hacer una estadística agrícola, industrial y comercial.

Los griegos clásicos también realizaron importantes observaciones estadísticas en lo que se refiere a la distribución del terreno, el servicio militar, entre otros. También cabe citar entre los griegos principalmente a Sócrates, Herodoto y Aristóteles, quienes a través de sus escritos incentivaron la estadística por su importancia para el Estado (Cobro de impuestos).

En Roma, su perfecta organización política, jurídica y administrativa; favoreció el desarrollo de la Estadística. Una muestra es el Census que se realizaba cada 5 años y que tenía por objeto no sólo saber el número de habitantes, sino también su cantidad de bienes. Bajo el mandato de Servio Tulio, éstos pasaron a ser base constitucional del gobierno. También en un inicio se llevaba un registro de nacimientos y de fallecimientos; pero fue bajo Antoninos que la declaración de nacimientos adquirió una verdadera institución legal que era necesaria hacerla ante el "prefecto del Erario" en el templo de Saturno y no después de 30 días de nacimiento. Con la caída del Imperio Romano las estadísticas se pierden en Europa, floreciendo más bajo la civilización árabe.

Durante la edad media sólo se realizaron algunos censos exhaustivos en Europa. Los reyes carolingios Pipino -El Breve- y Carlomagno ordenaron hacer estudios minuciosos de las propiedades de la Iglesia en los años 758 y 762 respectivamente. Después de la conquista normanda de Inglaterra en 1066, el rey Guillermo I de Inglaterra -El Conquistador- encargó un censo. La información obtenida con este censo, llevado a cabo en 1086, se recoge en el Domesday Book. El registro de nacimientos y defunciones comenzó en Inglaterra a principios del siglo XVI, y en 1662 apareció el primer estudio estadístico notable de población, titulado Observations on the London Bills of Mortality (Comentarios sobre las partidas de defunción en Londres). Un estudio similar sobre la tasa de mortalidad en la ciudad de Breslau, en Alemania, realizado en 1691, fue utilizado por el astrónomo inglés Edmund Halley como base para la primera tabla de mortalidad.

La Iglesia, viendo la importancia de la estadística estableció después del Concilio de Trento la obligación de la inscripción de nacimientos, matrimonio y defunciones.

A mediados del siglo XVII, gracias a Vito Seckendorff, y sobre todo de German Conring al que se le atribuye como fundador de la Estadística era la descripción de los hechos notables de un estado. Conring perfeccionó y mejoró notablemente la tendencia nueva, sistematizando los conocimientos y los datos. El mejor de sus seguidores fue Godofredo Achenwall, quien consolidó definitivamente los postulados de esta nueva ciencia y también de haberle dado el nombre de "Estadística"; palabra que etimológicamente deriva de la palabra "status", que significa estado o situación; este nombre ya antes había sido usado en Italia, pero su definición todavía no estaba bien dada.

La Estadística pasó así a ser la descripción cuantitativa de las cosas notables de un estado. Von Scholer separó la teoría de la estadística de la aplicación práctica de la misma. Todos ellos formaron parte de la tendencia de la Estadística Universitaria Alemana, conocida como la Estadística Descriptiva.

John Graunt encabeza una tendencia opuesta, nacida en Inglaterra, la de los aritméticos políticos; conocida también como Estadística Investigadora. Ellos buscaban fijar en números los fenómenos sociales y políticos cuyas leyes empíricas buscaban. Para su tiempo esto fue atrevido, casi imposible; pero el mérito de ellos es de ser los primeros en buscar las leyes cuantitativas que rigen la sociedad. De esta escuela surgen dos tendencias más:

1. Tendencia Enciclopédico Matemática: Tuvo su máximo desarrollo en Francia. Usó no sólo la matemática y el cálculo de probabilidades y lo más importante de ella es que tuvo aplicación práctica en todas las ciencias y no sólo como los aritméticos políticos que la aplicaban a los fenómenos políticos y sociales, sino también a campos jurídicos, electorales, metereológicos, etc.

Adolfo Quetelet y A. Cournot son los representantes más insignes de esta tendencia. Quetelet, considerado por muchos el fundador de la estadística moderna, hizo innumerables aportes; el más importante fue el de la metodología estadística, sirviéndose del método sentado por él mismo, haciéndola así totalmente científica. Cournot por su parte hizo un valioso aporte a la teoría de las probabilidades.

2. Tendencia Demográfica: Se desarrolló en Alemania y su máximo representante fue Juan Pedro Süssmilc; él hace el primer tratado que verifica el movimiento de la población. Usa los postulados de Graunt aplicándolos a los fenómenos que se refieren a la población y así nació la Demografía y fue Guillard quien le dio el nombre. Gustavo Romelin separó a la Estadística Descriptiva en parte técnico-metodológica y parte aplicada. Teniendo en cuenta esto sucede que hasta este punto existen:

A) Estadística metodológica: Que es un método general de estudio adecuado para ciertos fenómenos. Su defensor fue Cournot.
B) Estadística social: Ciencia que estudia desde el punto de vista cuantitativo las leyes de la sociedad y en parte las de la población. Su representante es Süssmilch.
C) Estadística cuantitativa: estudia cuantitativamente los hechos salientes del estado. Sus representantes son Conring y Achenwall.

En el siglo XIX, con la generalización del método científico para estudiar todos los fenómenos de las ciencias naturales y sociales, los investigadores aceptaron la necesidad de reducir la información a valores numéricos para evitar la ambigüedad de las descripciones verbales.

En nuestros días, la estadística se ha convertido en un método efectivo para describir con exactitud los valores de los datos económicos, políticos, sociales, psicológicos, biológicos y físicos, y sirve como herramienta para relacionar y analizar dichos datos. El trabajo del experto estadístico no consiste ya sólo en reunir y tabular los datos, sino sobre todo el proceso de interpretación de esa información. El desarrollo de la teoría de la probabilidad ha aumentado el alcance de las aplicaciones de la estadística. Muchos conjuntos de datos se pueden aproximar, con gran exactitud, utilizando determinadas distribuciones probabilísticas; los resultados de éstas se pueden utilizar para analizar datos estadísticos. La probabilidad es útil para comprobar la fiabilidad de las inferencias estadísticas y para predecir el tipo y la cantidad de datos necesarios en un determinado estudio estadístico.

Métodos estadísticos

La materia prima de la estadística consiste en conjuntos de números obtenidos al contar o medir cosas. Al recopilar datos estadísticos se ha de tener especial cuidado para garantizar que la información sea completa y correcta. El primer problema para los estadísticos reside en determinar qué información y cuánta se ha de reunir. En realidad, la dificultad al compilar un censo está en obtener el número de habitantes de forma completa y exacta; de la misma manera que un físico que quiere contar el número de colisiones por segundo entre las moléculas de un gas debe empezar determinando con precisión la naturaleza de los objetos a contar. Los estadísticos se enfrentan a un complejo problema cuando, por ejemplo, toman una muestra para un sondeo de opinión o una muestra electoral. El seleccionar una muestra capaz de representar con exactitud las preferencias del total de la población no es tarea fácil.

Para establecer una ley física, biológica o social, el estadístico debe comenzar con un conjunto de datos y modificarlo basándose en la experiencia. Por ejemplo, en los primeros estudios sobre crecimiento de la población los cambios en el número de nacimientos y el número de fallecimientos en un determinado lapso. Los expertos en estudios de población comprobaron que la taza de crecimiento depende sólo del número de nacimientos, sin que el número de defunciones tenga importancia. Por tanto, el futuro crecimiento de la población se empezó a calcular basándose en el número anual de nacimientos por cada mil habitantes. Sin embargo, pronto se dieron cuenta de que las predicciones obtenidas utilizando éste método no utilizaban métodos correctos. Los estadísticos comprobaron que hay otros factores que limitan el crecimiento de la población. Dado que el número de posibles nacimientos depende del número de mujeres, y no del total de la población, y dado que las mujeres sólo tienen hijos durante parte de su vida, el dato más importante que se ha de utilizar para predecir la población es el número de niños nacidos vivos por cada mil mujeres en edad de procrear. El valor obtenido utilizando este dato mejora al combinarlo con el dato del porcentaje de mujeres sin descendencia. Por tanto, la diferencia entre fallecimientos y nacimientos sólo es útil para indicar el crecimiento de población en un determinado periodo de tiempo del pasado, el número de nacimientos por cada mil habitantes sólo expresa la taza de crecimiento en el mismo período, y sólo el número de nacimientos por cada mil mujeres en edad de procrear sirve para predecir el número de habitantes en el futuro.

La estadística es una Ciencia que tiene como finalidad facilitar la solución de problemas en los cuales necesitamos conocer algunas características sobre el comportamiento de algún suceso o evento. Características que nos permiten conocer o mejorar el conocimiento de ese suceso. Además nos permiten inferir el comportamiento de sucesos iguales o similares sin que estos ocurran. Esto nos da la posibilidad de tomar decisiones acertadas y a tiempo, así como realizar proyecciones del comportamiento de algún suceso. Esto es debido a que solo realizamos los cálculos y el análisis con los datos obtenidos de una muestra de la población y no con toda la población. Pues hacerlo con todos los datos o población en algunos casos seria muy difícil y en otros casos casi imposible o imposible. Difícil porque podría tratarse de una situación donde el número de datos es muy grande, como por ejemplo si quisiéramos saber el promedio de goles por juego de un equipo de fútbol, a pesar de que se tienen los registros de todos los resultados de sus juegos, son muchísimos los juegos y llevaría tiempo revisar todos los archivos para obtener esos datos. O bien saber que porcentaje de personas tiene vehículos en una determinada ciudad.

Por otra parte podría ser casi imposible o imposible en una situación, como por ejemplo, donde necesitamos conocer el promedio de edad de los habitantes en todo el mundo (son muchas personas) y teniendo en cuenta que para ello es necesario aplicar encuestas, entrevistas; o extraer datos de archivos y/o de observaciones de campo. Es posible que sea muy difícil y complicado o que simplemente no se pueda conseguir los datos de todas las personas. O bien saber que porcentaje de vehículos azules hay en el mundo. Analizando esto podemos ver que también simplemente puede ser muy sencillo, como por ejemplo determinar el promedio de edad de los gobernadores de los Estados Unidos, pues son pocos y conocidos es sencillo obtener los datos. Esto nos lleva a la conclusión de que la estadística tiene aplicación en cualquier campo, sin importar que tan sencillo o complicado sea. Cuanto más complicado sea, más ayuda nos presta para resolver la situación. Mostraremos las ideas expuestas con un caso práctico de la vida real, el cual se presenta con muchísima frecuencia:
Un estudiante que toma un curso en la escuela, siempre le interesa saber con anticipación como será su resultado al finalizar el curso. Que oportunidad tiene de aprobar el curso y con que calificación, lo cual no es posible determinar con certeza hasta finalizar el curso. Pero con el uso de la estadística puede conocer de forma aproximada esta información.

El puede tomar las calificaciones (que son los datos) de todos los cursos anteriores y hacer un promedio (que seria la media aritmética). Así tendría una idea de cuales son en general los resultados que se obtienen en ese curso. También puede obtener un porcentaje de cuántos estudiantes obtienen una determinada calificación. Lo que luego le permitiría de acuerdo al número total de estudiantes en ese curso determinar cual sería su probabilidad de obtener una determinada calificación. También puede obtener un porcentaje de las personas que aprueban o no el curso y así conocer su oportunidad, de igual forma de acuerdo al total de alumnos del curso obtener su probabilidad de aprobar o no el curso.

Pero este trabajo que necesita hacer con los datos de todas las calificaciones anteriores de ese curso, llevaría muchísimo tiempo y trabajo. Es muy posible que cuando tenga los resultados ya no le sirvan, pues ha terminado el curso y ya conoce con certeza sus calificaciones. Es allí donde tiene un papel importante la estadística. De todas las calificaciones anteriores, que seria la población, solo se toman algunas, esto seria una muestra. Para seleccionar la muestra existen varias maneras de hacerlo o métodos. Como por ejemplo: tomar solo las del último curso. Tomar cinco calificaciones de cada curso. Tomar cinco calificaciones de los últimos diez cursos, dejando a la suerte cuales serian las cinco calificaciones a tomar. Esto sería selección aleatoria, también se podría tomar algunos cursos al azar o aleatoriamente y de ellos algunas calificaciones también aleatoriamente. Un aspecto importante es el tamaño de la muestra. Este está relacionado directamente con la precisión de los resultados que se obtendrán. Cuanto mayor sea el tamaño de la muestra mayor presición tendrán los resultados, pues el tamaño de la muestra estará mas cerca del tamaño de la población y cuanto mas pequeña sea el tamaño de la muestra, estará mas lejos del tamaño de la población por lo que los resultados serán menos precisos. Por tal motivo existen métodos para poder establecer o calcular de acuerdo a la situación cuál es el tamaño de la muestra adecuado. Esto no quiere decir que no pueda seleccionarse otro tamaño de la muestra, solo es mas recomendable. Otro aspecto importante podría ser dividir el grupo de estudiantes en cuatro categorías: A, B, C y D. Pues supongamos se asignan tres tipos de becas a los estudiantes, de la siguiente forma. Al 25% que saque mayores notas (categoría A) se le da una beca por 5 años. Al 25% que le sigue en calificaciones (categoría B) se le otorga una beca por 3 años. Al 25% siguiente (categoría C) una beca por 1 año y al 25% restante (categoría D) no se le otorga ninguna beca. Esto quiere decir por ejemplo que en una clase de 20 estudiantes que estén ordenados por calificaciones en orden descendente: del 1 al 5 se becan por 5 años, del 6 al 10 se becan por 3 años, del 11 al 15 se becan por 1 año, y del 16 al 20 no reciben beca. Si quisiéramos conocer que oportunidad tenemos de obtener una beca. Podríamos tomar un grupo de notas o datos, de forma aleatoria entre todas las notas de los cursos dictados anteriormente o población. Esto representaría una muestra. Luego determinamos cuales son las calificaciones que establecen a que categoría pertenece el estudiante (Tomado de http://www.cortland.edu)

Nociones de estadística

La estadística es una rama de la Matemática que se ocupa de la recolección, organización, análisis e interpretación de datos. La información contenida en una gran cantidad de datos recolectados es muy difícil de obtener si no se realizan antes las tareas de organización, análisis e interpretación propios de la Estadística.

Es por esto que en muchas áreas del conocimiento, actualmente la Estadística resulta muy útil, y en algunas, hasta indispensable. Por ejemplo, en las Ciencias Sociales se requiere con frecuencia estudiar el comportamiento o la situación de grupos humanos numerosos, y para ello, la Estadística resulta ser una herramienta fundamental.

Definiciones básicas

Con el objeto de definir algunos de los términos elementales que se usan en Estadística, se planteará el estudio de un fenómeno en particular, desde el punto de vista estadístico. Supóngase que se desea estudiar el fenómeno del rendimiento académico de los estudiantes de 2° año de Ciencias de un cierto Liceo, en la asignatura de Física.

Población: Se denomina 'población' del estudio estadístico, en este caso, al grupo de todos los estudiantes de 2° año de Ciencias del Liceo en cuestión. Es importante observar que la palabra 'población', en Estadística, puede referirse a un conjunto de objetos y no necesariamente a un conjunto de personas o seres vivos en general. Por ejemplo, si se quiere hacer un estudio del estado en que se encuentran los pupitres de todo el Liceo, clasificándolos en tres categorías: inservible, reparable, y en buenas condiciones, en este caso la población estaría conformada por todos los pupitres que hay en el Liceo.

Población: conjunto de todos los individuos (personas, objetos, animales, etc.) sobre los cuales se a estudiar una o varias características.

Muestra: Cuando la población es muy numerosa, se hace difícil obtener y analizar la información proveniente de todos los individuos, y en ese caso se seleccionan algunos individuos representativos de la población para hacer el estudio estadístico. El grupo de individuos seleccionados se denomina muestra. En el caso del estudio sobre el rendimiento académico de los estudiantes de 2° año de Ciencias, si se tratara de un Liceo pequeño con sólo una sección de cada curso, se tomaría toda la población para el estudio. Pero si se tratara de un Liceo muy grande, con 10 secciones de 2° año de Ciencias, probablemente se tomaría una muestra, seleccionando unos 5, 10 ó 12 estudiantes de cada sección, según las posibilidades del equipo que realiza el estudio.

Muestra: Es una parte representativa de la población, con la que se realiza el estudio estadístico y cuyos resultados son validos para toda la población.

Unidad experimental: Es el individuo u objeto sobre el cual se mide una variable, es decir, cada uno de los elementos de la muestra. En el ejemplo que se viene trabajando sería cada uno de los estudiantes de 2° año.

Variables estadísticas
Las variables estadísticas son los datos que proporcionan los individuos de la población (o muestra) observada. Pueden ser cuantitativas, como en el caso del estudio del rendimiento académico, si se usa el dato de la nota definitiva que obtuvo cada alumno en la asignatura de Física. Siempre que la información esté dada a través de números, se considera que es una variable cuantitativa. En el caso del estudio sobre el estado de los pupitres del colegio, se tiene una variable cualitativa, pues la información sobre cada pupitre no está dada en términos numéricos, sino que se ubica a cada uno en una de las categorías: inservible, reparable, en buenas condiciones.

Las variables pueden ser de dos tipos:

  • Variables cualitativas o atributos: no se pueden medir numéricamente. Por ejemplo: nacionalidad, color de la piel, sexo, etc.

  • Variables cuantitativas: tienen valor numérico, por ejemplo: edad, precio de un producto, ingresos anuales, etc.

Por su parte, las variables cuantitativas se pueden clasificar en discretas y continuas:

  • Discretas: sólo pueden tomar valores enteros (1, 2, 8, -4, etc.). Por ejemplo: número de hermanos (puede ser 1, 2, 3...., etc, pero, nunca podrá ser 3,45).

  • Continuas: pueden tomar cualquier valor real dentro de un intervalo. Por ejemplo: la velocidad de un vehículo puede ser 80,3 km/h, 94,57 km/h...etc.

Las variables también se pueden clasificar en:

  • Variables unidimensionales: sólo recogen información sobre una característica (por ejemplo: edad de los alumnos de una clase).

  • Variables bidimensionales: recogen información sobre dos características de la población. Por ejemplo: edad y altura de los alumnos de una clase.

  • Variables pluridimensionales: recogen información sobre tres o más características. Por ejemplo: edad, altura y peso de los alumnos de una clase.

EJERCICIOS

1. Clasifica las siguientes variables como cuantitativas o cualitativas:
a. Deporte preferido.
b. Talla de pantalón.
c. Color de pelo.
d. Estado civil.
e. Tiempo que toma armar un rompecabezas.
f. Número de estudiantes en un salón de primer grado.
g. Evaluación del desempeño de un político recién elegido (excelente, bueno, regular o malo).
h. Departamento donde vive una persona.

2. Indica cuales de las siguientes variables cuantitativas son discretas y cuales son continuas:
a. Población en un área particular de Colombia.
b. Número de primos.
c. kilómetros recorridos por dos atletas.
d. Número de ventanas de una casa.
e. Peso de los periódicos recuperados para reciclaje en un día.
f. Tiempo para terminar un examen de psicología.
g. Número de consumidores en una encuesta aplicada a 1000 personas que consideran importante la información nutricional que contienen los empaques de los productos alimenticios.


3. Si fueras a realizar una encuesta para determinar el éxito del último libro del escritor colombiano Gabriel García Márquez, ¿Qué población escogerías? ¿Cuál sería la muestra estadística?

4. Un conjunto de datos consta de las edades que tenían al morir cada uno de los 41 presidentes anteriores de Colombia:
a. ¿Este conjunto de datos específicos en una población o una muestra?
b. ¿Cuál es la variable que se esta midiendo?
c. ¿La variable del inciso b es cuantitativa o cualitativa?

5. Un investigador médico quiere estimar el tiempo de supervivencia de un paciente después del inicio de un tipo específico de cáncer y después de régimen particular de radioterapia.
a. ¿Cual es la variable de interés para el investigador médico?
b. ¿La variable del inciso a es cualitativa, cuantitativa discreta o cuantitativa continua?
c. Identifique la población de interés para el investigador médico.
d. Describa como podría seleccionar el investigador una muestra de la población.

6. En cada uno de los siguientes enunciados identifica:

§ La población estadística.
§ La variable estadística.
§ Dar dos datos e indicar si son datos numéricos o cualitativos.

a. En una investigación para estudiar las habilidades de los estudiantes de 10 a 12 años de edad de la ciudad, se propuso una prueba a 500 estudiantes.
b. Una finca de café tiene cultivados 50.000 arbustos de esta rubiácea. Con el fin de
estudiar como los ha afectado la roya se tomaron 1.000 de ellos.
c. Jorge en muy aficionado al fútbol. Desea hacer una encuesta en el colegio para verificar si es verdad que el atlético Nacional es el equipo de las preferencias en Antioquia.
d. Natalia anota la temperatura cada hora del día martes para ver como varía.Un alumno quiere averiguar en su colegio cual es el programa de televisión que más se ve y escoge 6 estudiantes de cada grupo para obtener la información.

Organización de datos


¿Te has preguntado alguna vez para qué sirven las encuestas que a veces se hacen en la calle?, ¿Cómo saber si una estación de radio es mejor que otra? , ¿Cuál candidato puede ganar? Bueno, en realidad todo comienza con la recaudación de datos.

Los datos es información que se recoge, esto puede ser opinión de las personas sobre un tema, edad o sexo de encuestados, dónde viven, cuántas personas viven en una casa, qué tipo de sangre tiene un grupo de personas, etc. Hay tanta información que puede servirle a diferentes profesionales para sacar datos que son útiles en la toma de decisiones, para resolver problemas, o cualquier otro elemento que así lo amerite.

Te preguntarás qué hacen estas personas con la información que han recogido. Te lo explicaré: Una vez que se haya recogido toda la información, se procede a crear una base de datos, donde se registran todos los datos obtenidos. Algunas veces, si los datos son muy complicados, se codifican, esto quiere decir que se le coloca una palabra clave que identifica un título muy largo. Cuando ya está elaborada la base de datos se parece a una tabla.

Por ejemplo: para ingresar a un equipo de natación los aspirantes deben dili­genciar un formato. En el formato se debe escribir la edad y el sexo. En un día se diligenciaron 25 solicitudes y se registraron los siguientes datos.

En los datos obtenidos se identifican dos variables: edad y sexo. La variable edad es cuantitativa y discreta; y la variable sexo es cualitativa.
Para organizar la información se elabora una tabla de frecuencias para cada variable. En la primera columna de cada tabla, se escribe la variable, y en forma ordenada, los datos relacionados con ella. En las tres columnas siguientes, se escribe la frecuencia absoluta, la frecuencia relativa y la frecuencia porcentual.

Frecuencia absoluta: Está determinada por el número de veces que aparece cada valor de la variable. En el ejemplo anterior las tablas correspondientes son:
La suma de las frecuencias absolutas debe ser el total de la muestra. En este caso, la suma de las frecuencias absolutas es 25.

Frecuencia relativa:
Es el resultado de dividir la frecuencia absoluta entre el número de elementos de la muestra. Por ejemplo, la frecuencia relativa del valor 17 años es 9/25.


La frecuencia relativa representa el tanto por uno de cada valor de la varia­ble en el total. La suma de las frecuencias relativas es igual a 1.Frecuencia porcentual: Es el resultado de multiplicar la frecuencia absolu­ta por 100 y dividirla entre el número total de valores. Por ejemplo, el porcentaje de hombres en el grupo de aspirantes al equipo de natación es (10x100)/25=40% . Así, las tablas resul­tantes son:
La suma de las frecuencias porcentuales es igual a 100.

Frecuencia acumulada absoluta: Es el resultado de sumar la frecuencia absoluta de cierto valor con las frecuencias absolutas anteriores. Esta frecuencia indica el número de elementos del conjunto que tienen la característica con ese valor o con uno menor.

Frecuencia acumulada relativa: Es el resultado de sumar la frecuencia relativa de cierto valor con las frecuencias relativas de los datos menores. También se puede calcular mediante la división de la frecuencia acumulada absoluta entre el número total de datos.


Frecuencia acumulada porcentual: Es el resultado de sumar la frecuencia porcentual de cierto valor con las frecuencias porcentuales anteriores. Esta frecuencia indica el porcentaje de elementos del conjunto que tienen la característica con ese valor o con uno menor.

Rango: Es la diferencia entre el mayor valor y el menor valor de la característica en estudio. Así, en la tabla anterior el rango es 3 puesto que:




EJERCICIOS


1. A 20 de los asistentes a un teatro se les preguntó por el número de hermanos que tienen. Estos fueron los resultados: 2, 1, 0, 1, 1, 3, 2, 2, 4, 3, 2, 1, 1, 1, 0, 2, 1, 2, 3, 5.
a. Organizar los datos anteriores en una tabla de frecuencias.

2. En un salón de belleza se lleva el registro de las tintu­ras aplicadas a sus clientas. El siguiente es el registro del día anterior:
negro, rubio, castaño, negro, negro, negro, negro, rubio, rubio, castaño, castaño, negro, negro, negro, negro, negro, negro, castaño, rubio, rubio, rubio, castaño, negro, negro, negro, negro, rubio, negro, negro, castaño.
a. ¿A cuantas personas se les aplicó tinte de color rubio?
b. ¿Cuál es la frecuencia relativa de las personas a quienes se les aplicó tinte castaño?
c. ¿A que porcentaje de personas se les aplicó tinte negro?
d. ¿Cuál es el color de tinte que menos se aplicó? ¿A que porcentaje equivale?

3. Los resultados de un test de inteligencia que midió el cociente intelectual de 25 personas, fueron los siguien­tes: 121, 100, 92, 100, 75, 75, 121, 92, 75, 92, 100, 121, 150, 97, 92, 75, 121, 150, 150, 100, 97, 92, 97, 121, 100.
Elaborar una tabla de frecuencias.
¿Cuántas personas tienen un coeficiente intelectual por debajo de 100?
Si se consideran personas superdotadas aquellas que tienen un coeficiente intelectual superior a 130, ¿cuántas personas superdotadas hay en el grupo? ¿A qué porcentaje equivalen?
¿Qué porcentaje de personas tiene coeficiente inte­lectual mayor o igual 100?
¿Cuál es la frecuencia relativa de las personas con coeficiente intelectual 75?

4. En una encuesta realizada a 25 estudiantes del grado séptimo, acerca del número de libros que leen en el año, se obtuvieron los siguientes resultados:
6, 6, 7, 6, 7, 5, 5, 6, 7, 5, 4, 5, 4, 9, 3, 3, 9, 5, 5, 9, 5, 4, 5, 4, 8.
a. Identifica la variable a estudiar y elabora la respectiva tabla de frecuencias.
Responde:
b. ¿Cuántos alumnos leen tres libros al año?
c. ¿Cuántos alumnos leen un libro al año?
d. ¿Cuántos alumnos leen la menor cantidad de libros al año y cuál es su frecuencia relativa?
e. ¿Cuántos alumnos leen la mayor cantidad de libros al año y a qué porcentaje equivalen?
f. ¿Cuántos alumnos leen entre siete y nueve libros al año?¿Cuántos alumnos leen entre tres y cinco libros al año, y a cuánto equivalen sus frecuencias relativas?

5. La información recogida sobre el medio de transporte escolar utilizado por 150 estudiantes de secundaria, es la siguiente: 60 estudiantes viajan en el bus escolar, 45 en bus ejecutivo, 18 en buseta, 15 en microbús y 12 en bicicleta.
a. Elabora la tabla de frecuencias
b. ¿Cuál es el medio de transporte más utilizado?
c. ¿Qué porcentaje representa?
d. ¿Cuál fue el número de estudiantes encuestados?
e. ¿Cuanto es la suma total de los porcentajes? ¿Cuál es la característica de la población que se estudia?

    6. La tabla siguiente fue construida con base en los datos anteriores, pero tiene algunos errores, corrígela.

    Diagramas

    Los diagramas son representaciones graficas de la información recolectada y organizada en una tabla de frecuencias. Es un verdadero arte funcional que no solo sirve para representar datos sino también para expresar ideas que se desean destacar. Recuerde que el tipo de grafico que utilice no es tan importante como la interpretación que haga de él.

    ALGUNAS REGLAS PARA EL TRAZADO DE DIAGRAMAS
    1. El cero de la escala vertical siempre debe colocarse. Si se hace necesario interrumpir la escala vertical, esto debe mostrarse claramente con una línea en zig-zag.
    2. La curva debe trazarse más gruesa que las coordenadas para que resalte.
    3. Los títulos deben ser claros y deben colocarse horizontalmente.
    4. La longitud de los ejes se debe seleccionar de modo que la grafica resulte balanceada a lo alto y a lo ancho.
    5. Si hay que mencionar puntos particulares de la grafica, deben indicarse con notas al pie.
    Indique siempre la fuente de información.

    INTERPRETACIÓN DE LAS GRAFICAS CON OJO CRÍTICO
    Una vez que ha elaborado una grafica para un conjunto de datos, ¿Qué debe buscar cuando intenta describir los datos?
    § Primero, verifique las escalas horizontal y vertical para que tenga claro lo que se está midiendo.
    § Examine la ubicación de la distribución de los datos. ¿Dónde esta el centro de la distribución en el eje horizontal? Si esta comparando dos distribuciones (graficas), ¿están los centros en el mismo lugar?
    § Examine la forma de la distribución. ¿La distribución tiene un ‘máximo’ – punto que esta mas alto que cualquier otro-? Si es así, está es la medición o categoría que ocurre con más frecuencia. ¿Hay más de un máximo? ¿Hay un número aproximadamente igual de datos específicos a la izquierda y a la derecha del máximo?
    § Busque cualquier medición inusual o valor atípico. Es decir, ¿es alguna medición mucho más grande o pequeña que las demás? Estos valores atípicos podrían no ser representativos de los otros valores del conjunto.

    Gráficos de líneas o diagramas lineales
    Cuando una variable cuantitativa tiene un registro temporal a intervalos igualmente espaciados (por ejemplo: diario, semanal, trimestral o anual), el conjunto de datos forma una serie de tiempo. Los datos de series de tiempo son los que se representan con más eficacia en una grafica de líneas.


    Como ya se menciono, estos gráficos se usan para representar series cronológicas, y para representar distribuciones de frecuencia. Los diagramas o curvas de series cronológicas son de dos clases:
    1. Los diagramas que representan series de datos acumulativos, como las producciones o las ventas.
    2. Los diagramas que representan series de datos instantáneos, tales como inventarios, temperaturas y cotizaciones.
    En las series cronológicas el tiempo se coloca en el eje horizontal, los puntos del plano se localizan por las coordenadas correspondientes a los datos y luego se unen por rectas, formando así una poligonal que es el diagrama de la serie cronológica.

    Grafico de barras vertical
    Es la representación grafica, en ejes cartesianos de la información dada en una tabla de frecuencias. Sobre el eje x, se colocan los valores de la variable que se estudia. Sobre el eje y, se colocan las frecuencias absolutas. En cada una de las alternativas del eje x se construyen rectángulos de igual base y de altura igual a la frecuencia que señala la tabla para cada dato.

    Recomendaciones para la elaboración de gráficos de barras:
    1. Cuidemos que el grafico quede balanceado, evitando que las barras resulten muy anchas o excesivamente altas.
    2. Dejemos siempre un espacio entre las barras, que son sea inferior a la mitad del ancho de ellas.
    3. No recarguemos las barras tratando de expresar muchos productos en cada una de ellas.
    4. Si el grafico tiene muchas barras es preferible reemplazarlo por un diagrama lineal.

    Ejemplo: En la siguiente tabla de frecuencias, se presentan las edades de los 25 aspirantes que se presentaron para el equipo de natación.

    Grafico de barras dobles
    Este tipo de grafico ayuda a comparar datos. Usemos barras dobles para comparar el número de días secos con el número de días lluviosos durante los primeros tres meses del año.

    En enero, la barra de días secos muestra 12 días, en tanto que la barra de días lluviosos muestra 19 días.

    Grafico de barras horizontal
    Es una representación similar al grafico de barras vertical. La diferencia entre estos dos tipos de gráficos es la localización de los valores de las variables y las frecuencias. En el grafico de barras horizontal, sobre el eje y se coloca la variable que se estudia y en el eje de las x, las frecuencias.


    Grafico circular
    Se usa para representar gráficamente partes o porcentajes de un todo, en la que cada región es proporcional al porcentaje que aparece en la tabla de frecuencias. El total de estudiantes está representado por el círculo completo.
    Para trazar el grafico, lo primero que se debe hallar es la frecuencia relativa y luego calcular el ángulo de cada sector mediante la siguiente ecuación:

    El ángulo de cada sector también puede calcularse estableciendo la siguiente igualdad de proporciones:
    Por ejemplo, para calcular el ángulo que corresponde a un sector que es 12% del área del círculo, tenemos:
    luego,
    es decir,
    Así, un sector circular que ocupa el 12% le corresponde un ángulo de 43°.
    Para calcular el ángulo que corresponde a un sector que es 44% del área del círculo, tenemos
    luego,
    es decir,
    Así, un ángulo de 158° corresponde al sector circular que ocupa el 44% del área del círculo.

    Para efectos de una presentación de resultados a través de una gráfica de sectores, no se colocan las medidas de los ángulos, basta con poner los porcentajes y señalar cuál grupo corresponde a cada sector.


    Diagrama de puntos
    Un diagrama de puntos es una gráfica que se emplea para dar una idea aproximada de la forma de la distribución de una variable cuantitativa discreta. Sobre una misma recta (usualmente horizontal) se disponen en orden ascendente los posibles valores de la variable y encima de cada uno de esos valores se anotan tantos puntos como veces se repita el valor.

    Pictogramas
    Un pictograma es la representación de datos estadísticos por medio de figuras o motivos alusivos a los datos que se están analizando. Así, si los datos que se van a analizar están relacionados con medios de transporte, se puede utilizar la imagen de un carro.

    En los pictogramas, el elemento que se usa para representar los datos tiene un valor distinto de uno. Así, la imagen del carro puede representar 5.000 carros.

    La técnica de los picto­gramas se utiliza para mostrar comparaciones que impacten, llamando la atención del público en general, cualesquiera que sea su nivel. Los expertos ponen en juego gran creatividad e ingenio en la presentación de datos, bus­cando siempre atraer la atención del auditorio con una vistosa y llamativa presentación de la información.

    La magnitud de los datos dados por los pictogramas son aproximaciones y no sirven para análisis serios de estadística.

    Frente a un pictograma, un observador siempre muestra indecisión en la comparación de alturas, áreas y volúmenes; por esto en todo trabajo con pic­togramas las cantidades se expresan con un mayor o menor número de figu­ras iguales. Por ejemplo, si para indicar crecimiento de la industria de la cons­trucción se utiliza una casa pequeña y otra grande, ¿qué se está mostrando si una casa, tiene dos veces el tamaño de la otra, su área es 4 veces mayor, y si fuera en volumen este sería 8 veces el volumen de la más pequeña?

    Esto resulta muy confuso, de modo que si en estadística se desea mostrar una cantidad con un pictograma, se deben utilizar figuras del mismo tamaño, como se muestra en la figura siguiente; las aproximaciones se hacen por fracción de figura, mitad y hasta cuartos, y la cantidad que representa cada figura se debe indicar con claridad en el encabezamiento del pictograma.
    Ejemplo:

    Histograma
    Un histograma es una gráfica que se emplea para representar la distribución de una variable cuantitativa continua. Generalmente se utilizan con variables agrupadas en intervalos, representando en el eje x los intervalos de clase. Cada uno de los grupos en que clasifica la variable está representado por la base de un rectángulo –adyacente a los demás- y la altura del mismo es proporcional a la frecuencia del correspondiente grupo de valores. Si son frecuencias acumuladas, serán proporcionales a las alturas aunque los intervalos sean de distinta amplitud.

    Polígono de frecuencias
    Un polígono de frecuencias se construye a partir del histograma, uniendo mediante segmentos rectilíneos los puntos medios de los lados superiores de los rectángulos, éste polígono de frecuencias corresponde al anterior histograma.

    Ojiva
    Una ojiva es un polígono de frecuencias absolutas que se construye uniendo mediante segmentos rectilíneos de abcisa igual al extremo derecho de cada intervalo y orde­nada igual a la frecuencia acumulada correspondiente a ese intervalo.



    EJERCICIOS


    1. El siguiente grafico de barras, muestra los resultados de una encuesta realizada para conocer las preferencias musicales de un grupo de personas.

    a. ¿Cuántos géneros musicales hay en la encuesta?
    b. ¿Cuál es el género de menor preferencia en la encuesta?
    c. ¿Cuál es el género musical de mayor preferencia en la encuesta?
    d. ¿Cuál genero es preferido por 15 personas?
    e. ¿Cuántas personas prefieren la música rock y la música rap?
    f. ¿Cuál fue el total de personas entrevistadas?
    g. ¿Cuántas personas eligieron los géneros musicales de mayor y menor preferencia?

    2. Elabora un diagrama de barras con la información de la tabla.


    3. Las ventas de un almacén durante los 4 primeros meses del año, es como sigue: enero $ 50.000, febrero $ 80.000, marzo $ 120.000, abril $ 70.000. Muestra estos datos:
    a. Por medio de un gráfico de barras.
    b. Por medio de un gráfico acumulado de barras.

    4. Manuela preguntó a sus compañeros de curso por la fruta que preferían comer a la hora del descanso. Los datos que recogió fueron los siguientes:
    manzana, pera, mango, mango, banano, pera, manzana, manzana, manzana, pera, manzana, mango, banano, mango, manzana, manzana, pera, mango, banano, mango, manzana, pera, mango, mango, manzana, manzana, manzana, banano, pera, pera, manzana, manzana, banano, banano, pera, pera, manzana, banano, manzana, pera.
    a. Completa la tabla de frecuencias.


    a. Elaborar un diagrama de barras vertical con los datos obtenidos en la tabla de frecuencias.
    Contestar las siguientes preguntas:
    b. ¿Cuántos alumnos prefieren mango?
    c. ¿Cuál es la fruta que más prefieren?
    d. ¿Cuál es la fruta que menos prefieren?
    e. ¿A cuántos niños encuestó Manuela?

    5. Las edades de una población escolar, representada en forma tabular, es como sigue:

    Representa estos datos en un gráfico de acumulado de barras.

    6. Los dueños de un concesionario de automóviles comen­taban sobre las ventas que se habían realizado en una semana: "en esta semana vendimos tres Twingo, dos Mégane más que Twingo, cuatro Symbol menos que Mégane y la misma cantidad de Clío que de Mégane". a. Con la anterior información, elaborar una tabla de frecuencias y un gráfico de barras horizontal.
    Responder las siguientes preguntas:
    a. ¿De cuál marca se vendieron más automóviles?
    b. ¿De cuál marca se vendieron menos automóviles?
    c. ¿De cuáles marcas se vendieron igual número de automóviles?


    7. En una fábrica de discos compactos, la producción semanal está dada así: lunes 30.000.000 CD, martes 12.500.000 CD, miércoles 27.500.000 CD, jueves 50.000.000 CD y viernes 7.500.000 CD. Elaborar un pictograma que represente la producción semanal si:


    Teniendo en cuenta el pictograma elaborado, responde las siguientes preguntas.
    a. ¿En qué día se fabricaron menos CD?
    b. ¿En qué día se fabricaron más CD?
    c. Entre martes y miércoles, ¿cuántos CD se fabricaron?
    d. Entre el primer día y el último, ¿cuántos CD Se fabricaron?
    e. ¿Cuántos CD se fabricaron durante toda la semana?
    f. ¿Cuáles fueron los dos días en los cuales la produc­ción fue menor?

    8. En una ciudad de 80 000 habitantes, hay 3 000 indios, 15 000 blancos, 4 000 negros, 35 000 mestizos, 2 000 zambos y 12 000 mulatos y otros. Representa estos datos por intermedio de un gráfico circular.

    9. En el periódico del colegio, aparecieron los resultados parciales de las olimpiadas de matemáticas por equipos. Esta fue la información registrada:
    Los cursos 601 y 603 tienen cada uno 30 puntos acu­mulados.
    El curso 801, ocupa el último lugar con 10 puntos menos que el curso 603.
    El curso 702 está en el primer lugar con 25 puntos más que el curso 801.
    El curso 602 está a un punto del curso que va de pri­mero.
    El curso 701 tiene 3 puntos menos que el curso 603.
    a. Elaborar una tabla de frecuencias con la informa­ción anterior
    b. Elaborar un gráfico de barras vertical a partir de la información presentada en la tabla de frecuencias.
    c. ¿Cuál curso va en segundo lugar?
    d. ¿Cuál curso va en tercer lugar?

    10. Un científico cree que el color rojo tiene un mayor grado de estimulación para las palomas, que el verde. Para comprobar su hipótesis expuso a 15 palomas a una sesión completa de condicionamiento operante que consistía en poner a las palomas en una caja que tenía dos luces (una roja y una verde) y un comedero. Las palomas debían picotear cualquiera de las luces para recibir comida. Algunas veces picoteaban la luz roja y otras, la verde. Cada sesión duraba 30 minutos y las respuestas que dieron las palomas durante ese transcurso de tiempo fueron las siguientes:


    a. Identifica la población de estudio y la muestra que representa a dicha población.
    b. ¿Cuál es la variable que se está midiendo? ¿De qué tipo es?
    c. Haz tablas de frecuencias que representen la situación y también un diagrama.

    11. Un psicólogo desea establecer si los programas de televisión que presentan situaciones violentas tienen la misma influencia en niños de distinto sexo, que viven en ciudades grandes. Para ello, escogió al azar de sus 50 pacientes (25 niños y 25 niñas) 10 de cada sexo y con ellos realizó el siguiente experimento: todos los días durante un mes sometió a esos 20 niños a observar un programa violento de una hora de duración. Al finalizar el experimento, el psicólogo evaluó, por medio de un test escrito, el nivel de agresividad en cada niño. Los puntajes obtenidos en el test se dan a continuación:

    a. Identifica la población de estudio y la muestra con la que se hizo el experimento:
    b. ¿Crees que esa muestra sea lo suficientemente representativa para estimar o predecir el comportamiento de la variable dentro de la población?
    c. Haz la tabla de frecuencias correspondientes a cada grupo.
    d. Para cada caso (niños, niñas) haz una gráfica que represente los resultados.
    e. ¿Crees que el sexo sea el único factor que influye en el grado de agresividad del niño? ¿Qué otros factores pueden influir en la conducta de la cual se está hablando?

    12. La siguiente grafica muestra el nivel de ortografía de un grupo de alumnos al terminar la educación básica:


    a. Comprueba si los ángulos de cada sector se corresponden con los porcentajes indicados y, si no es así, vuelve a hacer el grafico de sectores para que concuerde.
    b. Si en el grupo hay 40 estudiantes, calcula cuántos hay en cada nivel.
    c. ¿Cuál o cuales de los valores; la media, la mediana o la moda son, representativos del nivel de ortografía del grupo? ¿Por qué?

    Medidas de tendencia central I

    Son las medidas que reflejan la tendencia de los datos a concentrarse alrededor de ciertos valores.


    Media aritmética o promedio: Es el cociente que resulta de la división de la suma de todos los datos del conjunto y el número de datos.

    Ejemplo 1. ¿Cuál es la media aritmética de 8, 7, 12, 8 y 5?
    La media aritmética es 8.

    Ejemplo 2. Para saber el promedio de dinero que gasta una persona en almuerzos durante una semana, se suman los precios de los almuerzos de la semana y se divide este resultado entre el número de días que almorzó. Así, la siguiente tabla presenta los días de la semana y el valor respectivo de cada almuerzo.
    El promedio de dinero gastado se calcula así:
    Luego, el promedio de dinero que esta persona gasta en almuerzos en una semana es $6.000.

    Ejemplo 3. Las edades de un grupo de alumnos de séptimo grado se muestran en la siguiente tabla. Hallar la edad promedio de los alumnos.

    Para hallar la media o promedio, se suman todos los datos y se divide esta suma entre el número total de alumnos. Para sumar todos los datos de la tabla, se debe multiplicar cada valor por su frecuencia absoluta, así:

    Lo cual significa que la edad promedio de los alumnos de séptimo grado es 11,2 años.
    Moda (Mo): Es el valor de la variable que más veces se repite, es decir, el dato que aparece con mayor frecuencia absoluta. Así, en el ejemplo anterior, para las edades de los alumnos del grado séptimo, la edad con mayor frecuencia absoluta es 11. Por lo tanto, la moda es 11 años.

    Mediana (Me): Es aquel dato central que divide los datos de la muestra o la población en partes iguales. Para calcular la mediana en primer lugar se ordenan los datos y luego:
    § Si el número de datos es impar, la mediana es el dato central.
    § Si el número de datos es par, la mediana es el promedio de los dos datos centrales.

    Ejemplo 1. Las edades de los niños y niñas del grupo de música del curso 702 son 11 años, 12 años, 11 años, 13 años y 10 años. Hallar la mediana.
    Para hallar la mediana o valor central, se ordenan los datos de menor a mayor, así:
    10, 11, 11, 12, 13. Como el número de datos es impar, se escoge el valor que está en el centro de ellos:

    Luego, la mediana es 11 años.

    Ejemplo 2. En la lista: 0, 0, 0, 1, 2, 3, 3, 3. ¿Cuál es la mediana?
    Como el número de datos es par, entonces promediamos los dos datos centrales,

    así:

    Luego, la mediana es 1.5
    EJERCICIOS
    1. Los siguientes datos corresponden a los ríos más caudalosos del país.

    a. ¿Cuál es el rango de las longitudes de estos ríos?
    b. ¿Cuáles de estos ríos tienen una longitud mayor que la longitud correspondiente a la mediana?
    c. ¿Cuáles de estos ríos tienen una cuenca hidrográfica cuyo valor esté por debajo de la mediana?
    d. ¿El valor de la mediana para la cuenca, la longitud y el caudal de estos ríos corresponde al mismo río?¿Cuál (o cuales) es (son) ese (esos) río(s)?

    2. A continuación se tiene el número de goles marcados en cada uno de los 24 partidos de campeonato por las goleadoras de 2 equipos rivales, Aleja del equipo Patadón FC y Lucia, del equipo P.F. Golazo.
    a. Elabora una tabla de frecuencias para cada una de las jugadoras.
    b. ¿Quién obtuvo una media de goles superior?
    c. El equipo Patadón FC encajó una media de 3,5 goles por partido. ¿Cuántos goles le metieron en todo el campeonato?
    Aleja y Lucia son amigas y tienen entre ellas una competición muy particular: cada jornada gana aquella que mete más goles, empatando en caso de meter el mismo número.
    d. Elabora la tabla de frecuencias de los partidos ganados, perdidos y empatados por Aleja.
    e. De las dos amigas, ¿quién ganó su particular campeonato?

    3. Al realizar una encuesta a 200 personas sobre su tipo sanguíneo se obtuvo que del tipo A había 42 personas, del tipo B 49 personas, del tipo AB 18 personas y el resto eran del tipo O.
    a. Organiza la información obtenida en una tabla.
    b. ¿Qué porcentaje de las personas encuestadas corresponde a cada tipo de sangre?
    c. Encuentra la media y la mediana.

    4. En la siguiente tabla se dan algunos datos de las pistas de La Fórmula 1.

    a. ¿Cuál es el rango entre los datos correspondientes a la longitud de las pistas?
    b. ¿Cuáles pistas tienen una longitud superior al promedio de las longitudes de las pistas de La fórmula 1?
    c. ¿Cuántas personas podrían asistir a Canadá si todas las pistas de La fórmula 1 tuvieran la misma capacidad de espectadores?
    d. Si todas las pistas tuvieran el mismo número de curvas, ¿cuántas curvas le faltarían a la de China?
    e. ¿Cuántas vueltas en promedio se corren en un circuito de La fórmula 1?